Matemáticas
((fórmula))
Si ((fórmula)) el sistema es
incompatible.
Si ((fórmula)) el sistema tiene S.V.
Puede considerarse que son 3 planos o 1
plano y una
recta.
Planos. Si ((fórmula)): los 3
planos no tienen ningún punto en
común.
Si ((fórmula)): los 3 planos se cortan
en un punto.
Plano y una recta. Si ((fórmula)) el
plano y la recta no tienen ningún punto
en común.
Si ((fórmula)) el plano y la recta se
cortarán.
((gráfico)) para cada valor de y
habrá cambiado su signo, tendrá
igual valor absoluto pero diferente signo.
La función ((fórmula)) será la
misma función que ((fórmula)), pero
el valor de la coordenada en y será el doble, ya
que para cada valor de
y tendremos 2 veces x.
((dibujo fórmula))
Como la derivada de ((símbolo)) es igual a
((símbolo)), la función
derivada será la misma.
((fórmula))
Matemáticas
No, dado que ((fórmula)) solo significa que la
función es creciente y no que
f es positiva.
((dibujo)) así una gráfica similar a
esta no lo cumpliría
((fórmula)). Por lo que para
-2 serán paralelos mientras que en
los otros casos se cortarán en una línea
(exceptuando el 0)
Se busca un punto cualquiera de un plano.
Se busca la distancia del punto al plano
((fórmula))
82% azul
50% azules
18% azul
92% rojo
50% rojos
8% azul
((fórmula)) posibilidad de ser azul y tener la
tinta cambiada
((fórmula)) posibilidad de ser rojo y tener la
tinta cambiada
((fórmula)). Habrá un 69'230%
de que escriba rojo
((fórmula)). Para k=1 la
función hará así ((dibujo)) no
será ni máximo ni mínimo relativo
Para todos los valores positivos excluyendo a el
0, si fuera negativa
siempre habría una ((fórmula)) que anulara el
denominador (igual que si fuera
0)
((fórmula)). Y esto provocaría un punto
de discontinuidad.
Matemáticas
((fórmula))
En la solución única, los tres planos se
cortan en un punto formando una pirámide
((dibujo)).
En las infinitas soluciones, la solución es un plano
que pasa por el punto ((fórmula))
es paralelo al eje y y también es paralelo al eje
z
((dibujo))
((dibujo)). El plano que pase por los puntos
p1, p2 y p3 tendrá
como vectores directores los vectores perpendiculares respectivos
de cada plano y pasarán
por el punto a partir del cual se han hecho las dos
simetrías.
((dibujo)). Ecuación vectorial del
plano ecuación. Plano
((fórmula)). Ecuación
implícita del ((fórmula)). Plano
((fórmula)) para calcular d obligamos a que
pase por el punto 1,0-
1
((fórmula))
((dibujo)) simetría respecto al eje
y
((fórmula)) siempre será
simétrica respecto al eje y además la
curva se irá estrechando cada vez más
((gráfico)) función
((fórmula)) y la función
((fórmula)) son
simétricas respecto del eje x
((gráfico)). Los puntos de corte con el eje
x se mantienen, pero la
función se alarga por el eje y ya que ahora el
valor de la y para un
mismo valor x en cada una de las funciones será
el doble en
((fórmula))
Matemáticas
((fórmula)) el sistema es incompatible y no
tiene solución ya que
((fórmula)). Si a vale 1 el
sistema será
incompatible
((fórmula)). Se resuelve el sistema de
valores y obtendremos solución única
que nos dará una pirámide o prisma.
((dibujo fórmula gráfico))
es la inversa de la primera funció Quand donem
valor 0 a X en f(x) será la
meitat de 2f(x) ja que al multiplicar-ho será sempre el
doble. ((fórmula))
Matemáticas
((fórmula)). Si a=1 el sistema
tendría rango 2 al haber
cogido sólo dos pivotes por lo tanto es incompatible y la
interpretación geométrica es que la
solución es una pirámide.
((fórmula)). Es un sistema compatible
determinado, única solución. Y son
3 puntos que se unen en plano. La
interpretación geométrica es un
prisma.
((fórmula; texto en catalán))
Calcular la ecuación del plano que pasa por los
puntos p1, p2,
p3
((fórmula gráfico))
((texto en catalán))
((fórmula gráfico))
Matemáticas
((fórmula))
Si ((fórmula)) compatible determinado.
Se cortarían en un punto
Si a=1 compatible indeterminado de rango
2 con 1
grado de libertad ((fórmula))
((fórmula))
Recta que pasa por p, perpendicular al
((fórmula))
Punto donde cortan: ((fórmula))
((fórmula)). Para P3 (mismo
procedimiento) ((fórmula)).
Plano que pasa por los tres puntos
((fórmula))
((gráfico)) los valores son los mismos pero de
signo contrario
((gráfico)) cortes con los ejes permanecen
igual, pero los demás valores se
doblan. La gráfica es más acentuada.
((fórmula))
((gráfico)). A medida que a
aumenta, el crecimiento de
((fórmula)) también aumenta.
A medida que ((gráfico)) aumenta (cuando
((fórmula))) la gráfica aparece
más acentuada. Siempre pasa por
0,1
((fórmula)). Se representa como la
pendiente de la recta tangente (en un
punto)
Matemáticas
((fórmula)). El sistema compatible
indeterminado infinitas soluciones.
El sistema incompatible no tiene solución.
El sistema será compatible determinado.
Solución única
((fórmula))
En el caso que sean tres planos. Si el sistema es
compatible indeterminado la
solución será posiblemente 3 planos que
coinciden.
Si el sistema es incompatible, la solución
serán tres planos en forma de prisma.
Si el sistema tiene solución única entonces
los tres planos forman una pirámide.
((fórmula)). Si ((fórmula))
es igual a cero, la función será una
constante ((fórmula))
Matemáticas
((fórmula)). Hallo la matriz y resuelvo
para encontrar los valores de
a.
((fórmula)). Incompatible. Tres planos
en forma de prisma. Un plano y una
recta paralelas.
((fórmula)). Incompatible. Tres
planos en forma de prisma. Un plano y una
recta paralelas.
((fórmula)). Sistema compatible
determinado Solución el punto
((fórmula)).
Pueden ser tres planos en forma de pirámide.
Una recta que corta a un plano.
((fórmula)) para cada valor
((fórmula)) es decir ((fórmula))
siendo a un valor de ((fórmula))
((gráfico)). Para cada valor
((fórmula)) por lo cual las máximas
relativas de y2 tienen una altura doble al igual que las
mínimas.
El punto de corte es igual pues si ((fórmula
gráfico))
Matemáticas
((fórmula))
Cuando a=1 las dos primeras ecuaciones (que
corresponden a dos
planos) ((fórmula)) forman una recta, que viene dada
por ((fórmula)).
Cuando las dos primeras ecuaciones de los planos
((fórmula)) se cortan formando
una recta, la cual se corta con el plano ((fórmula))
en el punto
((fórmula))
((fórmula)) signo no varía
((fórmula gráfico))
Matemáticas
((fórmula))
Cuando ((fórmula)) será solución
única SU.
Cuando ((fórmula)) será incompatible
INC.
Cuando sea solución única serán
3 planos.
Cuando sea incompatible será 1 plano y
1 recta.
((gráfico)). La función es la
misma pero de signo contrario, ya que como la
e, tendremos valores negativos ((fórmula))
la y también
cambiará de signo.
((gráfico)). Como ((fórmula)) a
cada valor dado de x en
((fórmula)) será el doble.
((gráfico))
siendo un número real cualquiera
función derivada ((fórmula))
((fórmula gráfico)) Como la derivada es
la misma función la representación
de esta será la misma (igualmente con los valores de
a positivos.
Matemáticas
((fórmula)). La función
será continua para ((fórmula)) y para
cualquier valor que tome a, dado que se anula con
((fórmula))
((fórmula)). La función será
continua en ((fórmula)) para
((fórmula)) y ((fórmula)) o para
((fórmula))
Matemáticas
((fórmula)). Hacemos el siguiente
cambio de variable:
((fórmula))
((fórmula)). Posibles discontinuidades
en ((fórmula)) y
((fórmula)), luego estudiamos la continuidad en estos
puntos.
((fórmula)). Para que la función sea
continua: ((fórmula)).
La función ((fórmula)) no es derivable
en ((fórmula)).
Matemáticas
((fórmula)) en torno al eje ox, entre
x=0 y
((fórmula)).
Ahora calculamos una primitiva:
((fórmula)). Hallamos el vector director de la
recta: ((fórmula)).
Ponemos que z=0 porque para hallar los vectores
directores se eliminan los
términos independientes; por tanto
((fórmula)).
No existe tal plano, porque para ello los vectores
((símbolo)) deberían ser paralelos
(proporcionales), y no lo son ((fórmula)).
cuestión 4
((fórmula)). Distancia de P a
r:
Hallo un plano que pase por P y que sea
perpendicular a r, por
tanto para hallar el plano puedo valerme del vector director de
r:
((fórmula)). Por tanto el plano
es:
((fórmula))
Hallo el punto de corte del plano PI con la recta
r:
((fórmula)). Ahora hallo la distancia de
P a
A
((fórmula)). La proyección de un
punto sobre una recta es un punto de la
recta, hallado de la misma forma con la que hemos hallado el
punto A del
apartado anterior, por tanto en este caso la proyección de
P sobre r es
((fórmula))
((fórmula)). Cuando
((fórmula)) será un sistema
compatible:
((fórmula)) lo cual es una
contradicción.
Será un sistema compatible indeterminado (infinitas
soluciones).
Damos a "a" el valor 0,
tendremos:
((fórmula)). Otra solución
sería para ((fórmula)). Sería
otra solución,
y así habría infinitas, siempre que
((fórmula))
Matemáticas
cuestión 2
((fórmula)). Para obtener PI necesito
un punto y dos vectores:
((fórmula)).
Ecuaciones paramétricas de la recta
S.
((fórmula gráfico)). Sustituimos
por 0 y por
((fórmula))
Si ((fórmula)) número
incógnitas sería un sistema compatible
indeterminado.Infinitas soluciones
Si ((fórmula)) sistema incompatible.No
solución.
Si ((fórmula)) número incógnitas
sistema compatible determinado.única
solución. ((fórmula))
Distancia del punto ((fórmula)) a la
((fórmula)). De la recta
tomamos ((fórmula)).
Proyección de ((fórmula)) sobre
r:
((fórmula))
Matemáticas
((fórmula)). únicas discontinuidades a
evitar en ((fórmula)). La
función no es derivable en x=3, ya que presenta
picos.
((fórmula gráfico))
Matemáticas
Volumen de revolución ((fórmula)).
En unidades de volumen
u3
((fórmula)). Vector normal a
((fórmula)).
Vector director de ((fórmula)).
El plano pedido H' tendrá como vectores
directores el vector normal a
H y el vector director de 5 Además
pasará por A:
((fórmula))
cuestión 4
Para hallar la proyección, voy a hallar un plano
perpendicular a r y que
pase por el punto P, de manera que el punto de corte
entre la recta el plano será
la proyección de P sobre la recta
r.
Vector director de r (y por tanto normal a
H): 3,5.
Plano H
((fórmula)). Para hallar K, sustituyo
P en el plano
((fórmula)).
Para hallar la intersección, sustituyo las
ecuaciones paramétricas de r en el plano
H:
((fórmula)). Sustituyendo en
((fórmula)).
Distancia de P a r.
Para hallar la distancia de P a r, basta
con hallar el módulo del vector
PP', dado que este es perpendicular a r y pasa
por
P.
((fórmula)). Matriz del sistema
((fórmula)).
Matriz ampliada ((fórmula)).
Determinante ((fórmula)).
Si ((fórmula)) y por tanto el sistema es
incompatible.
Si ((fórmula)) y por tanto el sistema es
compatible determinado, ya que número de
incógnitas es igual al número de ecuaciones.
Según la regla de Cramer, las soluciones
vendrían dadas por ((fórmula))
Matemáticas
((fórmula))
Matemáticas
((fórmula)). Designamos a la matriz
buscada ((fórmula)).
Hallamos el producto de A.X:
((fórmula)). Hallamos el producto de la matriz
resultante nuevamente por la
matriz A inicial:
((fórmula)). Igualamos la matriz que
hemos obtenido con la matriz producto
que nos da el problema y obtenemos un sistema de 4
ecuaciones con
4 incógnitas, el cual, al resolverlo nos
dará la matriz X
buscada.
((fórmula)).
((fórmula)). Rango
((fórmula)).
Rango ((fórmula)): menor de orden 3 de
la matriz ampliada distinto de
cero:
((fórmula)). Rango ((fórmula));
rango A=2 sistema
Incompatible.
caso B
Si ((fórmula)) rango ((fórmula))
rango A* sistema compatible
determinado.
Tomamos arbitrariamente ((fórmula)).
Se resuelve por Cramer:
((fórmula))
Matemáticas
((fórmula)). Luego no es derivable en
X=3
((fórmula)). No son independientes ya que dos
sucesos A,
B son compatibles y por tanto dependientes.
((fórmula)) dominio
((fórmula)). Para esos valores la
función no está definida por lo tanto no es
continua y no existirá la función.
Habrá dominio para aquellos valores que sean mayores
que ((fórmula))
((gráfico))
Matemáticas
((fórmula))
Estudio del sistema
Si a=1 sistema compatible determinado
Si a=0 sistema incompatible
((fórmula)).
Resolución del sistema
Si ((fórmula)).
Solución 1,0,1
((fórmula))
((fórmula)) es continua menos cuando toma el
valor ((fórmula)).
Para que sea continua la función
((fórmula)).
Matemáticas
cuestión 3
((fórmula))
cuestión 1
((fórmula))
Matemáticas
cuestión 3
((fórmula))
dominio ((fórmula))
simetría: ((fórmula))
puntos de corte: ((fórmula))
Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Máximos y mínimos:
((fórmula))
Intervalos de decrecimiento:
((fórmula))
No hay ni máximos, ni mínimos por el
número 2 no pertenece a la
función.
Asíntotas: ((fórmula))
cuestión 4
((fórmula))
Extracto de rosas 1800 l
Alcohol 1600 l
Vende 150 pts/l B
Vende 75 pts/l A
Matemáticas
cuestión 4
((fórmula)). La parte del plano que verifica la
incursión es el semiplano
donde está el punto 10,10
((fórmula))
((gráfico)). Ha de fabricar 60
litros de A y
40 litros de B.
cuestión 1
((fórmula gráfico)). La
función del seno es periódica.
Matemáticas
cuestión 4
((fórmula)). Solución; 60
litros del producto A ningún
litro del producto B
((fórmula))
Matemáticas
cuestión 3
((fórmula))
dominio ((fórmula))
simetría ((fórmula)) no son
simétricas
asíntota horizontal en
((fórmula))
Puntos de corte
((fórmula))
Representación
((fórmula gráfico))
cuestión 4
((fórmula gráfico))
Matemáticas
cuestión 3
((fórmula))
Dominio ((fórmula))
No periódica
Simetrías ((fórmula)). No
simétrica
Puntos de corte ((fórmula))
Asíntotas ((fórmula))
Creciente - decreciente.
Máximo y mínimo
((fórmula))
cuestión 4
((fórmula))
Para que sea incompatible ((fórmula))
Matemáticas
cuestión 3
((fórmula))
Dominio: ((fórmula))
Punto de corte: ((fórmula))
Asíntotas: ((fórmula))
Puntos críticos: ((fórmula))
Crecimiento y decrecimiento: ((fórmula))
Máximos y mínimos:
((fórmula))
Representación gráfica
Punto de corte ((gráfico
fórmula))
cuestión 4
((fórmula gráfico))
Conforme vayamos dando valores a la función
objetivo, se irá aproximando al valor
óptimo que hace máxima la ganancia.
((fórmula))
Matemáticas
cuestión 3
((fórmula))
Asíntotas verticales ((fórmula))
Asíntotas horizontales
((fórmula))
((fórmula gráfico)) por lo tanto es
siempre decreciente.
cuestión 4 (b)
((gráfico fórmula))
Función y ganancia
((gráfico))
cuestión 4 (c)
((fórmula)) el -1 lo he hecho para que
el denominador -
2 se hiciese positivo para poder poner todo a común
denominador
6.
((fórmula))
Matemáticas
cuestión 1:
Derivada de una función
((fórmula))
Teorema de Rouché-Frobenius.
Se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones en los
cuales el número de ecuaciones es
distinto del número de incógnitas.
La condición necesaria para poder resolver este tipo
de sistemas es que el rango de la matriz
de los coeficientes sea igual a la matriz ampliada con los
términos independientes.
Esto implica que la última columna sea
combinación lineal de las otras
matriz ampliada
((fórmula)) sistema compatible
matriz de coeficientes
sistema incompatible (no tiene
solución)
El sistema además de compatible puede ser
determinado cuando el rango de la
matriz sea igual al número de incógnitas.
Rango igual a número de incógnitas, determinado
significa solución única para el sistema.
El sistema es compatible pero indeterminado cuando el
número de incógnitas es mayor que
el rango de la matriz número incógnitas >
rango.
Se resuelve a partir de parámetros.
Determinado rango igual a número de
incógnitas compatible
((fórmula)) indeterminado rango <
número de incógnitas.
Sistema de ecuaciones: número ecuaciones
((símbolo)) número de
incógnitas.
Incompatible
((fórmula)). No tiene
solución
((fórmula)) sistema compatible pero
indeterminado (en función de
parámetros)
((fórmula)) sistema sería incompatible
((fórmula)). La ecuación
quedaría ((fórmula))
cuestión 3
((fórmula)). Si el punto M es un punto
del plano r
debe cumplir la ecuación del plano
((fórmula))
Máximo: M.
Es el punto donde una curva pasa de ser creciente a ser
decreciente.
Para averiguar un máximo haremos la primera derivada
de una función y la
igualamos a 0
((fórmula)). Mínimo: una
función pasa de ser decreciente a
creciente
((fórmula))
Matemáticas
cuestión 2
Teorema de Lagrange.
Dice que dada una función f, continua en un
intervalo [a,b] y
derivable en a,b, se verifica:
((fórmula)).
Demostración.
Para la demostración vamos a considerar una
función auxiliar de la siguiente
forma:
((fórmula)). Y esta función se
va a comprobar que se mantiene en las
hipótesis del teorema de Rolle.
Continuidad
Función constante y por tanto continua
((fórmula)) continua
((fórmula)) - función continua porque el
producto de funciones continuas es
otra función continua
((fórmula)) - constante y por tanto
continua.
((fórmula)) - función continua.
((fórmula)) - continua
((fórmula)) - función continua porque la
diferencia de funciones continuas
es otra función continua.
Razonamiento análogo para la derivabilidad.
((fórmula)) toma valores iguales en los
extremos del intervalo
((fórmula)).
Comprobado esto sabemos por el teorema de Rolle que
((fórmula))
((fórmula)). Como queríamos
demostrar.
Ecuación vectorial ((fórmula))
Ecuación paramétrica:
((fórmula)). La deducción de estas
ecuaciones está al
final del examen.
((fórmula)). Voy a poner la ecuación en
forma paramétrica.
((fórmula)). Vector director de la
recta 1,4,3 el cual será el vector
normal del plano que me piden.
((fórmula))
cuestión 1
Se define como derivada de una función en un punto
x0, a la pendiente
de la recta tangente a la función en dicho punto.
((fórmula))
Teorema de Rouché-Frobenius. Dice que la
condición necesaria y suficiente para
que un sistema de m ecuaciones con n
incógnitas tenga solución, es
decir, sea compatible es que el rango de la matriz de los
coeficientes sea igual al rango de la
matriz ampliada.
((fórmula)). El rango de la matriz
A de los coeficientes
((fórmula)) es 1, por lo que para que el
sistema sea compatible el rango
de la matriz ampliada también habrá de ser
1, y este rango será uno para
cualquier valor de ((símbolo)) cumpliéndose
que ((fórmula))
((fórmula)) sistema compatible indeterminado ya
que
((fórmula))
((fórmula)) sistema incompatible ya que
((fórmula))
cuestión 2
Ecuaciones vectorial y paramétrica.
La ecuación paramétrica se deduce a partir de
la ecuación vectorial, despejando los valores
de ((fórmula)) en función de los
parámetros t y s de la siguiente
forma.
((fórmula))
((dibujo)). Ha de ser combinación lineal de
u y V ya
que en un plano sólo hay 2 vectores linealmente
independientes.
((fórmula))
Matemáticas
Ecuación general de un plano
((fórmula)). Origen de coordenadas
((fórmula)). Distancia de un punto a un
plano
((dibujo)) multiplicando escalarmente la
expresión anterior por el vector
normal del plano a ambos lados del igual para que no varíe
la expresión, entonces:
((fórmula))
P es un punto cualquiera
A es un punto del plano
Q es la proyección de P en el
plano
n el vector normal del plano 4
((fórmula)). Es valor absoluto porque una
distancia no puede ser
negativa.
((fórmula)). Si el punto es el
((fórmula)) y el plano es
((fórmula)) entonces la distancia entre ellos
será la siguiente:
((fórmula))
Para multiplicar dos matrices lo que se hace es multiplicar
escalarmente cada
miembro de la primera matriz por los miembros de la segunda, de
la siguiente manera
((fórmula)).
La condición para que se pueda realizar el producto
de dos matrices es que el número de
filas de la primera matriz sea igual al número de columnas
de la segunda matriz.
No es posible que para dos matrices A y B
no cuadradas puedan
existir A B y B A, ya que el producto de
matrices no cumple la
propiedad conmutativa.
((fórmula)) desglosando el valor absoluto
((fórmula)) haciendo la
primera derivada ((fórmula)) igualando la primera
derivada a o se sabe cuáles
pueden ser los máximos y mínimos relativos sabiendo
los signos que toma la primera
derivada a ambos lados de dichos puntos
((fórmula)) este valor no está dentro
del intervalo ((fórmula)) por lo
que no lo considero.
((fórmula)). Tomando valores de
x a ambos lados de 1
que es el valor posible de que sea un máximo y un
mínimo obtengo lo siguiente:
((gráfico)). Si la 1a derivada
es negativa, la función original es
decreciente, y si es positiva es creciente. Entonces esta
función es decreciente
((fórmula)) desde -1/2 hasta 1 y
creciente desde 1
hasta 3/2. Por tomar la función distinta
monotonía a ambos lados del
1 éste es un mínimo, en este caso porque
la función pasa de decreciente a
creciente.
por pasar por el origen c=0 por tener un punto
crítico en ((fórmula)) por
valer el área que determinan con el eje de
abscisas
((fórmula))
Matemáticas
Dados el punto ((fórmula)), la recta
((fórmula))
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto
M, es paralela al
plano PI y corta a la recta r.
Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto
M, es paralelo a la
recta r y perpendicular a PI.
Esquema: estrategia: conociendo
((gráfico)) un punto de la recta a conocer
"S" y un punto
cualquiera de "r" obtengo el vector PM paralelo
al plano
PI y por tanto el producto vectorial del vector director
de PI
"w" y de "PM" tiene que ser igual a cero
después despejando
obtengo el vector PM director de la recta
pedida.
Ecuación de la recta ((fórmula)).
Cálculos:
((fórmula)). Sustituyendo en el vector:
((fórmula))
Esquema: estrategia: para determinar la
((gráfico)) ecuación de un plano
necesitan conocer un punto por donde pasa y 2 vectores
paralelos a dicho plano.
En el problema en cuestión tenemos las 3
cosas.
Cálculos: mediante el determinante:
((fórmula)) obtenemos la ecuación del
plano.
((fórmula))
Probabilidad condicionada de un suceso por la
realización de otro.
Probar que la probabilidad condicionada por un suceso dado
satisface los axiomas
de la probabilidad.
La probabilidad condicionada de un suceso por la
realización de otro por definición
es:
P(A)= probabilidad de un suceso
((fórmula))
P(B)= probabilidad de un suceso
((fórmula)).
En el caso de sucesos independientes como
((fórmula)) entonces
((fórmula))
Los axiomas de probabilidad son 3:
((fórmula)) en el caso de probabilidades
condicionales se cumple
que:
((fórmula)). Y como ((fórmula)) se
cumple que
((fórmula))
En este caso ((fórmula)) se cumple
también 3er axioma
Para sucesos independientes ((fórmula))
Define primitiva de una función.
Siendo ((fórmula)) una función se dice
que la primitiva de ((fórmula)) es
igual a ((fórmula)) y se obtiene integrando la
función. Si tenemos una función
((fórmula)) siendo ((fórmula)) la
primitiva de ((fórmula)) es
((fórmula)).
((fórmula))
Calcular: ((fórmula)).
Por partes tenemos: (método de integración)
((fórmula))
Matemáticas
La distancia desde ((fórmula)) hasta el plano
x viene dada por la
distancia desde P hasta su proyección ortogonal
sobre el plano
Q.
((gráfico fórmula)). Si
consideramos un punto ((símbolo)) del plano,
que viene dado en la ecuación vectorial del plano
((fórmula)).
Tendremos: si multiplicamos vectorialmente por el vector
((fórmula)) normal al
plano:
((fórmula)). Dado que
((fórmula)) tendremos:
((fórmula)). Ecuación para
hallar la distancia de un punto a un plano.
La ecuación general del plano es:
((fórmula)) donde A, B y C son las
coordenadas del vector normal ((fórmula)).
Las coordenadas del vector ((símbolo))
serán las mismas que las del punto
((símbolo)), ya que dicho vector es su vector de
posición.
Luego la expresión antes deducida nos
quedará: ((fórmula))
Producto de matrices.
Dadas dos matrices A y B
((fórmula)). Su producto
sería:
((fórmula)). De donde se deduce que una
condición necesaria e
imprescindible para que se pueda multiplicar dos matrices es que
el número de columnas de
la primera coincida con el número de filas de la
segunda.
Si dos matrices no cuadradas, por ejemplo
((fórmula)) se pueden multiplicar de la forma
A B
A B sería posible, pues el número de
columnas de A =
número de filas de B. Pero el caso
contrario no sería posible, pues el número de
columnas de B no coincide con el número de filas
de A, luego no
existe ((fórmula))
((fórmula))
Matemáticas
Según los datos del problema, se tiene un plano
((fórmula)) conocido y un
punto que es el origen de coordenadas
((fórmula)). De la ecuación del plano
obtenemos un vector perpendicular al mismo, que es
((fórmula)) y con él y el punto
((fórmula)) escribimos la forma continua de la recta
perpendicular al plano
PI y que pasa por el origen de coordenadas:
((fórmula))
((fórmula)). A partir de esta ecuación
obtenemos la de uno de los pares de
planos cuya intersección da lugar a r, como
pueden ser:
((fórmula)). Tenemos pues, la ecuación
de un plano y la de una recta que
corta el plano perfectamente hallados. Hallamos por un
sistema el punto de corte de la recta
con el plano y obtendríamos un punto de coordenadas
((fórmula)). Con este punto y
el origen de coordenadas, hallamos el vector OP, que
coincide numéricamente
con el punto ((fórmula)). Finalmente, la
distancia entre esos dos puntos es el
módulo del vector ((fórmula))
problema 2.-
Se llama producto de dos matrices A y B y
se escribe
AxB a otra matriz C, cuyos elementos son el
resultado de la suma de
los productos de los elementos de las columnas de A por
las filas de
B. Para que dos matrices se puedan multiplicar
es necesario que la 1a
sea de orden mxn y la segunda nxp, siendo su
resultado una matriz de
orden mxp, cuyo elemento ((fórmula))
Si dos matrices A y B son no cuadradas,
AxB y
BxA no pueden existir ambas, puesto que, dadas dos
matrices A y
B cualesquiera no cuadradas, por ejemplo A
(orden mxn) y
B (orden nxp), su producto AxB va a
ser en este caso de
orden mxp, pero si multiplicamos BxA, el
número de filas de
B (al no ser cuadradas las matrices) no es igual al
número de columnas de
A, por tanto, y como ya expliqué arriba, no se
pueden multiplicar. El producto
de matrices no es conmutativo. Una matriz
simétrica es aquella que cumple que si
cambiamos filas por columnas la matriz no varía.
Genéricamente para orden
z:
((fórmula)). La condición del
problema:
((fórmula)). Condición de igualdad de
matrices:
((fórmula))
problema 3.-
((fórmula)). Esta función se desglosa en
otros dos:
((fórmula)). Tomemos ((fórmula))
para valores ((fórmula)) y
observemos que cuando ((fórmula)) y cuando
((fórmula)) luego es
decreciente en ((fórmula)) y creciente en
((fórmula)), teniendo un mínimo
en ((fórmula)).
Tomemos ahora ((fórmula)) para valores
((fórmula)) y se observa que
cuando ((fórmula)) que cuando ((fórmula))
luego esta función será
decreciente en ((fórmula)) y creciente en
((fórmula)) teniendo un mínimo en
((fórmula)).
Ahora bien, dentro del intervalo pedido y tomando la
función como ((fórmula))
será: creciente desde ((fórmula)) decreciente
[0,1] y creciente
((fórmula)) con un mínimo absoluto en
x=1.
La ecuación general de una parábola es
((fórmula)).
Si ha de pasar por ((fórmula)) luego tenemos
una parábola de ecuación
((fórmula)) cuya derivada sea:
((fórmula)).
Para que en x=1 tenga un máximo o un
mínimo ((fórmula)) luego
((fórmula)).
Luego la ecuación será
((fórmula)). Una de las gráficas
será ((fórmula)) y la
otra ((fórmula)).
El área comprendida entre éstas y el eje de
abscisas será ((gráfico))
Matemáticas
Distancia de un plano al origen de coordenadas.
El plano viene dado por la
ecuación general o implícita:
((fórmula)). El punto es el origen de
coordenadas
((fórmula))
((gráfico)). Supongamos el plano
((fórmula)) y el punto
P. La distancia del punto al plano será
la recta ((símbolo)) siendo
Q el punto de corte del plano ((fórmula))
con la perpendicular trazada al
plano por el punto P.
Si ((símbolo)) es un punto cualquiera
perteneciente al plano ((fórmula)),
entonces tenemos que: ((fórmula)).
Si multiplicamos la expresión anterior por el vector
normal del plano ((símbolo))
obtendremos:
((fórmula))
((fórmula)) ya que son perpendiculares y el
producto escalar de dos vectores
perpendiculares es igual a cero, ya que forman un ángulo
de 90o cuyo coseno es
0. Nos queda:
((fórmula)). Como la distancia del
punto al plano es ((fórmula)).
Como nos dan la ecuación del plano solo tenemos que
sustituir: ((fórmula)).
Ya que x1, y1, z1 son las coordenadas de
P y por ser el origen:
((fórmula)).
El producto de dos matrices da como resultado otra matriz
que tendrá de orden el
número de columnas de la primera matriz o el número
de filas de la segunda.
Para que dos matrices se puedan multiplicar es necesario
que el número de columnas de la
primera sea igual al número de filas de la
segunda.
Para dos matrices no cuadradas es posible que exista A
B y B A ya
que: supongamos ((fórmula))
A B es posible ya que el número de columnas
de A es igual al
número de filas de B
B A es posible ya que el número de columnas
de B es igual al
número de filas de A.
((fórmula))
Crecimiento y decrecimiento ((fórmula))
Máximos y mínimos.
En el intervalo considerado, la función pasa de
decreciente a creciente y cambia en el punto
1, luego, este punto es un mínimo.
((fórmula)). Forma de la ecuación de una
parábola ((fórmula)).
Plantearía un sistema de tres ecuaciones del que
obtendría la ecuación buscada.
Matemáticas
((fórmula)). Por otro lado:
Condición: área con el eje de abscisas
((fórmula)).
En este caso las parábolas que buscamos son
simétricas respecto a la línea x=1,
por lo tanto si sabemos que han de pasar por
((fórmula)) también pasarán por
2,0. El área determinada con el eje de
abscisas es: ((fórmula))
((fórmula)). Esto tiene que ser igual a
4. Pues sabemos que el
área que determina una función
((fórmula)) con el eje de abscisas entre 2
valores a y b tiene significado matemático en una
integral tal que
((fórmula)).
Igualando ((fórmula)) obtenemos un sistema a
resolver 4. Con la
ecuación anterior ((fórmula)).
Sustituyendo ((fórmula)).
Por tanto la ecuación nos
queda:((fórmula)).
Cambiándola de signo obtenemos la otra
ecuación posible que cumple las condiciones.
Punto crítico: ((fórmula)).
Punto crítico ((fórmula)).
Si tenemos 2 matrices A y B de
dimensiones
respectivamente mxn y m'xn', la
condición para que se puedan
multiplicar es que n ha de ser igual a m', es
decir ((fórmula)).
El resultado es una matriz C de orden
mxn'.
Sí es posible que para dos matrices no cuadradas
A y B exista
A B y B A.
Por ejemplo, sean
A matriz de orden 3x2
B matriz de orden
2x3
((fórmula))
Matrices simétricas de orden 2 que cumplan
que
((fórmula))
((fórmula)). Si cambiamos filas por columnas
queda igual
((fórmula))
Distancia del origen de coordenadas a un plano; dado por su
ecuación general o
implícita.
((gráfico)). Se trata de calcular la distancia
de un punto A a un
plano PI. Por lo tanto, según el dibujo
queremos hallar
((símbolo)).
Podemos calcular otro punto cualquiera de PI,que
llamaremos
B. Por lo tanto al conocer A y B
conocemos
((símbolo))
n vector característico del plano
A,B,C
Mediante el producto escalar podemos calcular
((fórmula)), es
decir:
((fórmula))
Conocemos ((símbolo)) y el ángulo que es
recto formado por
((símbolo)). Por lo tanto tenemos 3 datos de
un triángulo rectángulo.
Podemos calcular cualquier dato. Así:
((fórmula)) como podemos conocer
((fórmula))
Matemáticas
Sea ((fórmula)) un espacio
probabilístico y sean A y B
dos sucesos que pertenecen a P(E) (espacio de sucesos),
y ((fórmula)), se
define probabilidad condicionada del suceso B
condicionado a que se realice el
suceso A y se representa así
((fórmula))
La probabilidad condicionada, por definir una probabilidad
satisface los axiomas de
la probabilidad.
((fórmula)) (primer axioma).
Si B y C son sucesos
incompatibles
((fórmula)) (segundo axioma)
((fórmula)) (tercer axioma)
Sea f una función real de variable real y
F una función
denuable. Se llama primitiva de una función, a la
función ((fórmula)).
Al conjunto de primitivas de la integral
((fórmula)) se le llama integral indefinida y
se representa por ((fórmula))
Matemáticas
Sea ((fórmula)) una función
cualquiera. Definimos primitiva de una función
fórmul a otra función
((fórmula)) tal que ((fórmula)).
Decimos
entonces que ((fórmula))
((fórmula)). Utilizando la
integración por partes sabemos que
((fórmula)).
Si llamamos ((fórmula)).
Si llamamos ((fórmula)).
Ahora tenemos que solucionar
((fórmula)).
Si dividimos ((fórmula)) entonces:
((fórmula)).
Como pasa por 0,1 fórmula.
Para que la recta pedida sea paralela a PI debe
serlo a un vector de dicho plano.
Para x=2 e y=2 tenemos que
((fórmula)).
Entonces si ((fórmula)) es un punto por el que
pasa la recta pedida.
((fórmula))
Para que el plano sea paralelo a la recta uno de sus
vectores debe ser paralelo, como
es perpendicular al otro plano el vector característico de
esta es otro vector del nuevo plano
y ((fórmula)) debe pasar por el punto M por
tanto ((fórmula))
este es el plano M' que nos pide.
Lo que tenemos que hacer es demostrar el teorema de Bayes,
a partir del teorema de
la probabilidad total. Sea ((fórmula)) un
sistema completo de sucesos es decir
((fórmula)).
Si B es un suceso cualquiera
((fórmula)) este es el teorema de la
probabilidad total. Si queremos calcular
((fórmula))
Matemáticas
Probabilidad condicionada: probabilidad de un suceso
A condicionado
por otro suceso B, es el cociente entre la probabilidad
de la intersección de
ambos sucesos, entre la probabilidad del suceso B (el
condicionado)
((fórmula))
Los axiomas de la probabilidad son:
((fórmula)) si A y B son
incompatibles.
La primitiva de una función ((fórmula))
es otra función ((fórmula)),
cuya derivada es ((fórmula)), la función
original.
((fórmula)). Sacamos el vector director
de la recta que nos mandan hallar,
mediante el producto vectorial ((fórmula)).
Luego la recta pedida es: ((fórmula))
Matemáticas
Probabilidad condicionada
Se define probabilidad condicionada a la probabilidad de
que ocurra un suceso
A supuesta la realización de otro suceso
B. Se escribe:
((fórmula))
Sabemos que los 3 axiomas de la probabilidad
son:
((fórmula)). Podemos decir que este
axioma se cumple porque en la
((fórmula)), A y B son sucesos que
pertenecen a un espacio
muestral E cuya probabilidad es 1.
((fórmula)). (álgebra de
sucesos)
((fórmula)) de igual forma
((fórmula))
Si ((fórmula)).
Así si dos sucesos condicionados son incompatibles,
su unión resulta la suma de sus
probabilidades.
((fórmula)). Una recta viene definida
por un punto y un vector. Tenemos el
punto M. ¿Vector?
Condición paralelismo ((fórmula)).
Además ((fórmula))
Por pasar por M
((fórmula)) cumpliendo esas dos
condiciones.
((fórmula)). Llegamos a la
conclusión de que no puede haber un plano
PI que cumpla las 3 condiciones.
Define primitiva.
Sea ((fórmula)) una función acotada en
[a,b]. Se define primitiva de
((fórmula))
((fórmula)). Si la función
primitiva pasa por 1,0 eso significa que
hay función integral entre 1 y 0
comprendida por eso la he calculado.
Matemáticas
Sean ((fórmula)) y ((fórmula)) dos
funciones que cumplen las
condiciones del teorema de Gauchy y tal que
((fórmula))
((fórmula))
No se puede aplicar porque no queda como
indeterminación ni
((fórmula))
((fórmula))
Un sistema compatible y determinado de ecuaciones lineales
es un sistema en el que
a cada incógnita le corresponde una única
solución.
Esto ocurre cuando el rango de la matriz ampliada, es
decir, la matriz formada por los
coeficientes de las incógnitas y el término
independiente, es igual al rango sólo de los
coeficientes entonces el sistema tiene solución.
En términos matemáticos teorema de
Rouché Erobecirus ((fórmula)). El
sistema de
ecuaciones tiene solución pero para que sea compatible
determinado el número de
incógnitas tiene que ser igual que el valor del rango, es
decir ((fórmula))
((fórmula))
Compatible determinado ((fórmula))
(número de incógnitas).
Compatible indeterminado ((fórmula))
(soluciones).
Un sistema de Cramer es aquel que tiene siempre el mismo
número de incógnitas que de
ecuaciones, es decir:
((fórmula)). Otra condición que
se tiene que dar es que el determinante del o
la matriz de los coeficientes sea distinto de 0, es
decir
((fórmula)). Para hallar las
incógnitas
((fórmula))
Matemáticas
((fórmula)) (ya tenemos la función que
tenemos que integrar)
((fórmula))
Un sistema es compatible determinado cuando
((fórmula)) y el
((fórmula)) es decir, cuando existe una
solución única.
Regla de Cramer dice: que cuando un sistema tiene el mismo
número de incógnitas que de
ecuaciones y ((fórmula)) podemos aplicar el
método de Cramer a dicho sistema, por
ejemplo tenemos un sistema de tres ecuaciones y tres
incógnitas:
((fórmula)). Para hallar el valor de la
x haríamos lo
siguiente:
((fórmula)). Es decir cada
incógnita tiene una única solución.
Regla de l'Hôpital: sean ((fórmula)) y
((fórmula)) dos funciones que
cumplen el teorema de Cauchy y que ((fórmula)) la
regla del Hôpital se basa en
Cauchy.
El teorema de Cauchy dice que si ((fórmula)) y
((fórmula)) son dos
funciones que verifican: ((fórmula))
((fórmula)) no aparece la
indeterminación de ((fórmula)) luego ya
no podemos aplicar l'Hôpital.
Matemáticas
((fórmula)). La recta que se pide es la
siguiente:
((fórmula))
Un sistema compatible y determinado, es un sistema de
ecuaciones en el que se dan
las siguientes condiciones:
que el rango de la matriz formada por los
números que están multiplicando a las
incógnitas sea igual que el rango de la matriz ampliada de
ese sistema.
que el rango sea igual al numero de
incógnitas.
Estos sistemas tienen una sola solución cada
incógnita y esta solución, se puede
hallar por la regla de Cramer y se daría
así.
Por la regla de Cramer se van resolviendo las
incógnitas una a una.
Supongamos una incógnita cualquiera, para empezar
tiene que ser un sistema compatible
determinado.
Luego tenemos que saber la solución del determinante
formado por los números que
multiplican a las incógnitas. Entonces la
incógnita sería: el determinante formado por los
números que multiplican a las incógnitas, pero
sustituyendo la columna que corresponde a
los números que multiplican a incógnitas que
queremos hallar, por la columna que forman
los números que están del lado del signo "=" en el
que no hay incógnitas. Luego este
determinante se divide por el que ya habíamos hallado
antes (el que forman los números
que multiplican las incógnitas) y ya hemos hallado la
incógnita.
Esto se repite con cuantas incógnitas haya
((gráfico))
Matemáticas
El enunciado de la regla de l'Hôpital dice
así.
Sean dos funciones ((fórmula)), y
((fórmula)); dado que son polinomios
existe el cociente de ellos, y además existe
también el límite del cociente de las
derivadas.
Por otro lado el límite del cociente de funciones es
igual al límite del cociente de las
funciones derivadas.
((fórmula)). Entonces, de acuerdo con
esta regla los límites de la
indeterminación ((fórmula)) pueden ser
resueltos con mucha más facilidad.
((fórmula))
No puede aplicarse, pues la regla de l'Hôpital es
sólo para resolver casos de
indeterminaciones ((fórmula)) y si comenzamos a
realizar derivadas en el
numerador, llega un momento que al hacer el límite,
sale:
((fórmula)) que es ((símbolo)); con
lo que no puede
resolverse.
((fórmula))
Matemáticas
Si tenemos dos funciones ((fórmula)) y
((fórmula)) y
((fórmula)) entonces este límite coincide con
el de ((fórmula))
((fórmula))
No, porque contiene la expresión
((fórmula))
((fórmula))
Sistemas compatibles son aquellos que tienen
solución y si son compatibles
determinados es que su solución es única.
Regla Cramer. Un sistema de ecuaciones lineales es
de Cramer cuando el número de
incógnitas es el mismo que el de ecuaciones y el
determinante de la matriz no es nulo.
Todo sistema de Cramer tiene solución única,
y el valor de cada incógnita se halla
dividiendo por el determinante de la matriz, el determinante que
resulta de sustituir dicha
matriz la columna de los coeficientes de esa incógnita por
la de los términos
independientes.
Ejemplo.
Tenemos el siguiente sistema
((fórmula)). Este sistema tiene
solución de la siguiente manera
((fórmula))
Demostración.
Tenemos el siguiente sistema de Cramer:
((fórmula)). Escrito en forma
matricial:
((fórmula)). Como
((fórmula)) entonces existe A-1, y
multiplicándolo por la anterior igualdad queda:
((fórmula)). Que es igual a:
((fórmula)). Y por tanto:
((fórmula)). Donde el numerador es el
desarrollo del determinante
Bi por la columna i-ésima, y Bi
es el determinante que
resulta de sustituir en A la columna
i-ésima por la de los términos
independientes (por tanto la solución es igual que la
descrita antes en el ejemplo)
Matemáticas
Sistemas compatibles y determinados de ecuaciones
lineales.
Un sistema es compatible cuando el rango de la matriz es
igual al rango de la matriz
ampliada. Y es incompatible cuando sus rangos son
diferentes.
Si un sistema es compatible puede ser también
determinado si el rango de la matriz, que es
el mismo que el de la ampliada, coincide con el número de
incógnitas de la ecuación. Si no
coincide, el sistema será indeterminado.
Teorema del valor medio de Lagrange.
Si ((fórmula)) es una función continua
en [a,b] y derivable en
a,b entonces hay un punto c en a,b tal
que:
((fórmula)). Demostración.
Tomamos la función ((fórmula)) como
ecuación directriz.
((fórmula)). Teniendo en cuenta que
((fórmula)) es continua en
[a,b] y derivable en a,b y en
función de lo que dice el teorema de
Rolle podemos encontrar un punto ((fórmula)) tal
que:
((fórmula))
Matemáticas
Demostración del teorema de Lagrange.
Enunciaremos primero el teorema para luego basar en ello la
demostración.
Enunciado. Sea ((fórmula)) una
función definida en el intervalo cerrado
[a,b]. Si ((fórmula)) es
continua en [a,b], intervalo cerrado y
derivable en el intervalo abierto a,b, entonces existe
un punto x0,
perteneciente al intervalo abierto a,b, tal que su
derivada vale:
((fórmula))
Demostración.
Para la demostración del teorema de Lagrange
definiremos la siguiente función auxiliar
((fórmula))
((fórmula)) continua en el intervalo cerrado
[a,b], por su suma y
producto de funciones continuas.
((fórmula)) derivable en el intervalo abierto
a,b, por su suma y
producto de funciones derivables.
Evaluaciones en [a,b]:
((fórmula)). De aquí deducimos que
((fórmula)).
Esto cumple las hipótesis del teorema de Rolle,
función continua en [a,b],
derivable en a,b y los extremos iguales entonces:
((fórmula)).
Ahora hacemos ((fórmula)):
((fórmula)). La derivable en
((fórmula)) es paralela a la recta que
pasa por ((fórmula)).
Es una aplicación del propio teorema de
Lagrange.
((gráfico)). Cuando la derivada es:
((fórmula)), es la pendiente de la
recta.
Como el teorema de Lagrange viene deducido del teorema de
Rolle. La recta tangente será
paralela en el caso de que: máximo = mínimo.
Teniendo como conjunto imagen
[M,m].
Si se da el caso de ((fórmula)).
Al ser constante en la pendiente se
cumpliría.
((dibujo)). Al ser un cuerpo geométrico
la diagonal correspondería a la
diagonal de otra cara.
Quizás puede ser aplicado por el cálculo de
la distancia el teorema de Bolzano, en el
llamado "problema del monje" ((fórmula))
Hablaremos de sistemas compatibles y determinados, cuando
los sistemas tengan
solución única. Ejemplo:
((fórmula)). El sistema es compatible y
determinado y la
solución es única.
Regla de Cramer.
La regla de Cramer está en concordancia con lo
anteriormente expuesto. La regla de Cramer
sirve para la resolución de sistemas compatibles
determinados. Pero para que se pueda
aplicar la regla de Cramer y el sistema sea compatible
determinado tiene que cumplir lo
siguiente:
Que el número de ecuaciones sea igual al
número de incógnitas.
Que el determinante de la matriz de coeficientes sea
distinto de cero
((fórmula))
En el siguiente sistema de Cramer
((fórmula)). Llamamos matriz de
coeficientes a: ((fórmula)).
Para resolverlos, se divide la matriz que resulta de
sustituir cada fila por ((fórmula))
que la matriz de coeficiente.
La columna 1 se le llama columna
i-ésima.
((fórmula)). Los límites de
integración son b y 0.
Ecuación circunferencia
((fórmula))
Matemáticas
Demostrar el teorema del valor medio de Lagrange.
Si una función ((fórmula)) es continua
en un intervalo cerrado y es derivable en ese
mismo intervalo pero abierto, entonces existirá un punto
c que pertenece a dicho
intervalo abierto que cumple lo siguiente:
((fórmula))
Construimos una función ((fórmula)) y
suponemos que cumple las
condiciones del teorema de Rolle.
((fórmula)). Si se cumplen las
condiciones anteriores, entonces el teorema
está demostrado ((fórmula))
((fórmula)) sí es igual a
((fórmula)).
((fórmula)) derivable?
((fórmula)). Es derivable y por tanto
es continua.
Sí se cumplen las condiciones y por tanto sí
podemos aplicar Rolle, de tal manera que
existe un c que pertenece al intervalo abierto
a,b tal que
((fórmula)).
Ahora bien, como hemos demostrado en la última
parte, ((fórmula)) y por tanto
((fórmula))
Un sistema de ecuaciones lineales es compatible si y solo
si el rango de la matriz de
los coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada.
Además, será determinado cuando el rango
coincida con el número de incógnitas.
Un sistema se dice que es de Cramer cuando el rango de la
matriz de los coeficientes es
igual al rango de la matriz ampliada, el rango es igual al
número de incógnitas (es decir, un
sistema compatible determinado) y además el determinante
de la matriz de los coeficientes
es distinto de cero.
La regla de Cramer sólo se podrá cumplir
cuando un sistema cumpla las condiciones
anteriores.
Supongamos que el siguiente sistema es un sistema de
Cramer, es decir, que cumple las
condiciones necesarias para que se pueda cumplir la regla de
Cramer:
((fórmula)). El modo de resolverlo es
el siguiente.
La x se calcula dividiendo el determinante de la
matriz que resulta de sustituir la
columna de las equis por la columna de los términos
independientes por el determinante de
la matriz de los coeficientes de aquí que dicha matriz
tenga que ser necesariamente distinta
de cero. ((fórmula)) siendo A la matriz de
los coeficientes. Y así con las
demás incógnitas
((fórmula))
Tenemos el siguiente cubo:
((dibujo)). y se nos pide la distancia existente entre
la diagonal del cubo
CD y la diagonal de una cara, por ejemplo AB
cuando estas dos
diagonales se cruzan, es decir, la distancia entre el punto
P, perteneciente a la
diagonal AB y el punto Pi perteneciente a la
diagonal CD.
Las diagonales de un cubo se cortan en el centro de dicho
cubo y las diagonales en el centro
de una cara.
Si miramos el cubo de tal manera que sólo veamos la
cara de vértices A,B,C,E,
veremos que los dos puntos P1 y P2 coinciden,
nos parecerá un solo
punto. Como los puntos son respectivamente el centro del cubo y
el centro de una cara,
vemos claramente que la distancia entre ambos puntos será
la que hay entre el centro del
cubo y una de las caras. Si el lado del cubo es
R, se ve claramente que la
distancia es ((fórmula))
Tenemos la siguiente figura que resulta al girar una
circunferencia sobre el eje
y=0, esto es, el eje OX.
((fórmula)). El volumen será
igual al número PI por la integral
entre ((fórmula)) y b de la función
((fórmula)) al
cuadrado.
((fórmula)). Simplificando que el
volumen es:
((fórmula))
Matemáticas
((fórmula)). Como r y b son
constantes:
((fórmula))
Los sistemas compatibles y determinados de ecuaciones
lineales son aquellos que
tienen única solución, el rango de los coeficientes
del sistema es igual al rango de la
ampliada:
Por ejemplo: ((fórmula)).
Para resolver estos sistemas por Cramer:
Primero hay que ver si los rangos coinciden y si el
determinante es distinto de
cero.
Segundo, para hallar por ejemplo la x se sustituye
la columna de las
x por la de los términos independientes.
((fórmula))
Tercero, se divide por el determinante A.
Ocurriría lo mismo con las
demás incógnitas. Así se halla la
única solución para cada incógnita.
Sea ((fórmula)) una función continua en
un intervalo. Entonces si el límite
cuando x tiende a cero da la solución de
((fórmula)) es
derivable.
((fórmula)) hay que resolverlo por la manera
que se resuelven estos
límites.
((fórmula)) como es este resultado y no se
puede hacer de otra manera se
puede aplicar la regla de l'Hôpital, derivando arriba y
abajo independientemente.
((fórmula)). Luego el límite es
igual a infinito.
((fórmula)). No puede aplicarse la
regla de l'Hôpital porque
((fórmula)) cuando x 0 será siempre
((símbolo)). Y la derivada
del
((fórmula)) y los ((fórmula)) siempre
dará el resultado de
((símbolo)) por tanto no puede resolverse por esta
regla.
Matemáticas
((fórmula)). La recta r tiene como
vectores directores
((fórmula)) y otro vector director sería
((fórmula)). La recta S
tiene como vectores directores ((fórmula)) y otro
vector director sería
((fórmula)). El vector director resultante de la
recta r y de la recta
s sería:
((fórmula)). El ((fórmula))
sería el vector director
((fórmula)) y como el valor del punto 1,-1,2
lo sustituye en los valores de
la x,g,z
((fórmula))
Un sistema es compatible determinado cuando el rango de la
matriz A es
igual al rango de la matriz ampliada.
Rango (A) = rango (A) el sistema
sería compatible determinado.
Entonces el sistema tendría soluciones.
Y si el sistema fuera compatible indeterminado
tendría infinitas soluciones.
El sistema es incompatible indeterminado cuando el rango de
la matriz A es
distinto del rango de la ampliada.
((fórmula)). Aquí también
serían determinados e indeterminados.
determinados
compatibles
indeterminados
sistemas
determinados
incompatibles
indeterminados
Regla de Cramer: la regla de Cramer se utiliza cuando en el
sistema hay el mismo número
de ecuaciones que de incógnitas, entonces se dice que
f es un sistema de Cramer.
Ejemplo: ((fórmula)).
Este sería un sistema de Cramer porque hay
3 ecuaciones con 3
incógnitas. Las incógnitas serían
x1, x2, x3. Para hallarlo haríamos lo
siguiente:
por ejemplo para hallar la x1:
((gráfico))
Matemáticas
Resolver por el método de Gauss el siguiente sistema
de ecuaciones:
((fórmula)) ya está triangularizado.
Se trata de un sistema compatible
determinado cuyas soluciones son:
((fórmula)).
Dada la función: ((fórmula))
Determinar su dominio de existencia y sus intervalos de
crecimiento y
decrecimiento.
Dominio: ((fórmula))
Intervalos de crecimiento y decrecimiento:
((fórmula)). Ahora tengo que ver cuándo
((fórmula)) es mayor que
cero y cuándo menos para ver su crecimiento.
((fórmula))
Calcular sus asíntotas y extremos:
((fórmula)). No hay asíntotas
oblicuas dado que hemos visto que hay
asíntota horizontal.
((fórmula)). Representación:
signo de la función:
((fórmula gráfico))
Matemáticas
cuestión 1
((fórmula)). Cálculos:
((fórmula))
cuestión 2
((fórmula)) no es mínimo porque no se
incluye en el dominio.
En el intervalo ((símbolo)) la función
es decreciente.
En el intervalo ((símbolo)) la función
es creciente.
En el intervalo ((símbolo)) la función
es decreciente.
Asíntotas
Asíntota horizontal
((fórmula))
Asíntota vertical
((fórmula))
No existen asíntotas oblicuas. Su
fórmula para averiguarlas es
((fórmula)).
Corte con los ejes ((fórmula)).
Matemáticas
cuestión 4
((fórmula)). Y la recta de
regresión ((fórmula)).
Esta recta sirve para averiguar la mortalidad y el
número de causas de hospital por cada mil
habitantes.
Matemáticas
cuestión 1
((fórmula))
cuestión 4
Media de x
((fórmula))
xi = número de camas por cada mil
habitantes.
((fórmula)) es la frecuencia. La
frecuencia es 1 ya que cada dato
sólo aparece una vez.
Desviación típica ((fórmula)) es
la suma de todas las frecuencias. Como hay
10 datos y cada uno sólo aparece una vez, pues la
suma de las frecuencias será
10.
Media de y
((fórmula)). Si r es
próximo a 1 las variables son
dependientes 0 a -1.
Si 1 es próximo a 0 las variables
tienen una dependencia débil.
Si r es igual a 1 o a -1 las
variables son independientes.
Como ((fórmula)) quiere decir que es
próximo a -1 por lo tanto las
variables son dependientes
La dispersión de la distribución se
verá a través de la nube de puntos:
((gráfico fórmula))
Matemáticas
matemáticas II
((fórmula)) (resolución de las
incógnitas)
((fórmula gráfico))
Para que esté correlada ha de acercarse a
+1 o a -1; en este
caso sería a -1
((fórmula))
Matemáticas
cuestión 3
((fórmula))
A = faltar a clase el 5% de los
días
A = no faltar a clase el 5% de los
días
((fórmula))
Faltan a clase más de cinco alumnos
((fórmula))
No se registra ninguna ausencia
((fórmula))
cuestión 4
Media de x
((fórmula gráfico)). Varianza de
x para poder hallar la desviación
típica de x.
((fórmula))
Media y desviación típica de
y
((fórmula))
Coeficiente de correlación
((fórmula))
La distribución que está más dispersa
es la de número de camas por cada mil
habitantes porque tiene una desviación típica
mayor.
Matemáticas
cuestión 2
((fórmula)) continuo en todo su dominio
Asíntotas:
((fórmula))
Representación gráfica:
((gráfico))
Matemáticas
matemáticas II
cuestión 1
En 1er lugar, realizaré combinación
lineal entre las ecuaciones 1 y
2.
((fórmula)). Esta nueva ecuación
la sustituyo por la ecuación número
2.
Esta misma operación la realizaré entre las
restantes ecuaciones hasta obtener una variable
despejada.
Entre ecuación 1 y 3
((fórmula)).
Entre ecuación 1 y 4
((fórmula)).
El nuevo sistema de ecuaciones me queda de la siguiente
forma.
((fórmula)). Hago otra vez combinación
lineal entre ((fórmula)).
A continuación empiezo a sustituir y obtendré
los valores de x, y, t.
((fórmula))
cuestión 4
Media de x = x
((fórmula)). Esto representa una media
de 115 camas por cada
1.000 habitantes en cada país.
Desviación típica = Sx
((fórmula)). Esto representa el
coeficiente de desproporción que existe con
el resultado lógico.
Media de y = y
((fórmula)). La media de mortalidad
infantil en cada país es de
3'025.
Desviación típica = Sy
((fórmula)). Representa la
desproporción entre el resultado verdadero y el
adecuado.
La distribución de x, porque el coeficiente
que nos resulta es mucho
mayor que el de y.
Coeficiente de correlación lineal.
((fórmula))
Sx = desviación típica de
x
Sy = desviación típica de
y
Sxy = coeficiente que se calcula
((fórmula))
((gráfico)). Coeficiente de correlación
lineal = -0'820
Matemáticas
((fórmula)). Dominio
((fórmula)). Crecimiento
((fórmula)). Asíntota
vertical
((fórmula gráfico)).
Asíntota horizontal
((fórmula))
Matemáticas
cuestión 1
((fórmula)). Crecimiento
((fórmula)). Asíntotas
((fórmula)). Extremos.
Mirando los intervalos de crecimiento y decrecimiento
decreciente ((fórmula))
creciente ((fórmula)).
En 4 hay un mínimo relativo
((gráfico fórmula))